梅森的梅森素数

1. 梅森的梅森素数

梅森素数貌似简单，但研究难度却极大；它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰巨的计算。1772年，被誉为“数学英雄”的欧拉在双目失明的情况下，以惊人的毅力和高超的技巧靠心算证明了2^31－1是第8个梅森素数，该素数有10位（即2147483647），堪称当时世界上已知的最大素数。2300多年来，人类仅发现47个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”。梅森素数一直是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。特别值得一提的是，中国数学家和语言学家周海中于1992年首次给出了梅森素数分布的准确表达式,为人们探究梅森素数提供了方便。后来这一重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。 　梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径；它的探究推动了数学皇后——数论的研究，促进了计算技术、程序设计技术、网格技术和密码技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。在当代梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：它的研究成果，一定程度上反映了一国的科技水平。英国顶尖科学家、牛津大学教授马科斯·索托伊甚至认为它是人类智力发展在数学上的一种标志,也是科学发展的里程碑之一。

2. 梅森素数

据《新科学家》杂志网站2013年12月2日报道：
  
 一位名叫迈克尔·谢弗的26岁化学工程学研究生，花费了两年的时间，于  2003年11月17日  发现了已知最大的素数。
  
 这个素数可写成2的20996011次方减1，拥有6320430位数。这是当时人类发现的第40个梅森素数。
                                          
   马林·梅森  
  
 素数是指在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数。
  
 素数有无穷多个，但到2018年底，却发现只有51个素数可以表示成2的p次方-1的形式（p为素数）。
  
 这就是梅森素数（如3、7、31、127等），它是以17世纪法国数学家马林·梅森的名字命名的。以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母）。
                                          
 早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开始研究2的p次方-1，并在《几何原本》中论述了其与完全数的关系。
  
 其后，费马也提出了数论研究中的三个性质可以作为素数研究的基础。
  
 梅森在他们两个人的基础上对2的p次方-1进行了大量的计算和验证。
  
 他于1644年在自己的《物理数学随感》中断言，小于等于257的素数中，当p=2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时，2的p次方－1是素数，其它都是合数。
                                          
 前面的7个数（即p=2、3、5、7、13、17、19）已被前人所证实，而后面的4个数（即p=31、67、127、257）则是梅森自己的推断。
  
 由于梅森在科学界有着崇高的学术地位，当时的人们对其断言都深信不疑。
  
 后来人们才知道梅森的断言其实包含着许多错漏。
  
 不过梅森的工作却极大地激发了人们研究梅森素数的热情。
                                          
 几百年来的研究中，不同科学家否定了梅森所说的M67和M257是素数的断言。
  
 增加了M61、M89、M107，这三个梅森遗漏的数字。
  
 手工计算的时代，梅森素数的发现之旅异常艰辛。
  
 而计算机的发明，让梅森素数的搜寻如虎添翼。
  
 20世纪90年代中后期，在美国程序设计师沃特曼和库尔沃斯基等人的共同努力下，建立了世界上第一个基于互联网的分布式计算项目——因特网梅森素数大搜索（GIMPS）。
  
 人们通过这个搜索系统，找到了最近的17个梅森素数。
                                          
 2017年，日本虹色社出版社发行了一本书，名叫《2017年最大的素数》。
  
 全书总共719页，只印了“一个数”，就是第50个梅森素数，简单来写就是2的77232917次方-1。
  
 正常来写，就是一个共有23249425位数的数字。
                                          
 这本超级无聊、超级丧心病狂的书，在日本亚马逊上架4天后就卖断了货。

3. 梅森素数的寻找历程

2300多年来，人类仅发现49个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为 “数海明珠” 。自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数，因此寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程。梅森素数的探寻难度极大，它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰苦的计算。 在计算能力低下的公元前，人们仅知道四个2p－1型素数：3、7、31和127，发现人已无从考证。1456年，又一个没有留下姓名的人在其手稿中给出了第5个2p－1型素数：8191。而在梅森之前，意大利数学家卡塔尔迪（1548～1626）也对这种类型的素数进行了整理，他在1588年提出 和 也是素数，由此成为第一个在发现者榜单上留名的人。手算笔录的时代，每前进一步，都显得格外艰难。1772年，在卡塔尔迪之后近200年，瑞士数学家欧拉（1707～1783）在双目失明的情况下，靠心算证明了 是一个素数。这是人们找到的第8个梅森素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉还证明了欧几里得关于完全数定理的逆定理：所有的偶完全数都具有 2p－1（2p－1）的形式，其中2p－1是素数。这表明梅森素数和偶完全数是一一对应的。100年后，法国数学家卢卡斯（1842～1891）提出了一个用来判别Mp是否为素数的重要定理——卢卡斯定理，为梅森素数的研究提供了有力的工具。1876年，卢卡斯证明 是素数，这是人们靠手工计算发现的最大梅森素数，长达39位。1883年，俄国数学家波佛辛（1827～1900）利用卢卡斯定理证明了 也是素数——这是梅森漏掉的。梅森还漏掉另外两个素数： 和 ，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯（1875～1952）发现。卢卡斯第一个否定了 “M67为素数” 这一自梅森断言以来一直被人们相信的结论，但他未能找到其因子。直到1903年，才由数学家科尔（1861～1926）算出267－1=193707721×761838257287。1922年，数学家克莱契克（1882～1957）进一步验证了M257并不是素数，而是合数。在手工计算的漫长年代里，人们历尽艰辛，一共只找到12个梅森素数。 20世纪30年代，美国数学家莱默（1905～1991）改进了卢卡斯的工作，给出了一个针对Mp的新的素性测试方法，即卢卡斯-莱默检验法：Mp>3是素数当且仅当Lp－2=0，其中L0=4，Ln+1=（Ln2 －2）modMp。这一方法在 “计算机时代” 发挥了重要作用。1952年，美国数学家鲁滨逊（1911～1995）在莱默指导下将此方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在几个月内，就找到了5个梅森素数： 、 、 、 和 。其后， 在1957年被黎塞尔（1929～ 2014）证明是素数； 和 在1961年被赫维兹（1937～ ）证明是素数。1963年，美国数学家吉里斯（1928～1975）证明 和 是素数。1963年6月2日晚上8点，第23个梅森素数 通过大型计算机被找到。发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，以致于把所有从系里发出的信件都敲上了 “211213－1是个素数” 的邮戳。超级计算机的引入加快了梅森素数的寻找步伐，但随着指数p值的增大，每一个梅森素数的产生反而更加艰难。1971年3月4日晚，塔克曼（1915～2002）使用IBM360-91型计算机找到新的梅森素数 。而到1978年10月，世界几乎所有的大新闻机构（包括中国的新华社）都报道了以下消息：两名年仅18岁的美国高中生诺尔（1960～ ）和尼科尔使用Cyber-174型计算机找到了第25个梅森素数 。1979年2月，诺尔又独自发现第26个梅森素数 。伴随数学理论的改善，为寻找梅森素数而使用的计算机也越来越强大，包括了著名的IBM360型计算机和超级计算机Cray系列。1979年4月，史洛温斯基使用Cray-1型计算机找到梅森素数 。使用经过改进的Cray-XMP型计算机在1982年至1985年间找到了3个梅森素数： 、 和 。但他未能确定M86243和M216091之间是否有异于M132049的梅森素数。1988年，科尔魁特和韦尔什使用NEC-SX2型超高速并行计算机果然发现 。沉寂4年之后，哈威尔实验室（英国原子能技术权威机构）的一个研究小组宣布他们找到梅森素数 。1994年1月10日，史洛温斯基和盖奇再次夺回发现已知最大素数的桂冠——这一素数是 。而下一个梅森素数 仍是他们的成果，史洛温斯基由于发现7个梅森素数，而被人们誉为 “素数大王” 。1996年发现的M1257787是迄今为止最后一个由超级计算机发现的梅森素数，数学家使用了Cray-T94，这也是人类发现的第34个梅森素数。 使用超级计算机寻找梅森素数实在太昂贵了，而且可以参与的人也有限，网格这一崭新技术的出现使梅森素数的搜寻又重新回到了 “人人参与” 的大众时代。20世纪90年代中后期，在美国程序设计师沃特曼和库尔沃斯基等人的共同努力下，建立了世界上第一个基于互联网的分布式计算项目——因特网梅森素数大搜索（GIMPS）。人们只要在GIMPS的主页上下载一个计算梅森素数的免费程序，就可以立即参加该项目来搜寻新的梅森素数。1996年至1998年，GIMPS找到了3个梅森素数： 、 和 ，其发现者来自法国、英国和美国。1999年6月1日，美国密歇根州普利茅茨的数学爱好者哈吉拉特瓦拉通过GIMPS项目找到第38个梅森素数 ，这是20世纪发现的最后一个梅森素数，也是人们知道的第一个超过100万位的素数。如果把它写下来的话，共有2098960位数字。进入21世纪，随着个人计算机的进一步普及和计算速度的提升，人们又找到不少更大的梅森素数。加拿大志愿者卡梅伦在2001年11月找到 ，拉开了新世纪寻找梅森素数的序幕。 此后在2003年至2006年间，GIMPS又相继发现5个梅森素数： 、 、 、 和 ，最大素数纪录离1000万位大关越来越近。     2008年8月23日，美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯终于发现超过1000万位的梅森素数 。 它有12978189位数，如果用普通字号将这个巨数连续打印下来，它的长度可超过50公里！这一成就被美国的《时代》杂志评为 “2008年度50项最佳发明” 之一，排名在第29位。 此后一年内，又有两个1000万位以上的梅森素数被德国和挪威的志愿者先后找出。   距史密斯的发现仅相隔两个星期，而2009年4月找到的 与史密斯发现的素数相比 “仅” 相差14万位数。2013年1月，美国中央密苏里大学数学教授柯蒂斯·库珀领导的研究小组发现了第48个梅森素数 。 这一发现被英国《新科学家》周刊评为当年自然科学十大突破之一。 2016年1月7日，库珀又发现第49个梅森素数 274207281－1。这个超大素数有22338618位，是目前已知的最大素数。这已是库珀第四次通过GIMPS项目发现新的梅森素数。

4. 梅森素数有哪些

目前仅发现51个梅森素数，最大的是M（即2－1），有24862048位。有一类素数能够通过一个简洁的公式用其他更小的素数表达出来，这些素数称为梅森素数。把素数2平方再减1，我们得到一个更大的素数3：22-1=3。素数是只能被1和自己整除的正整数。如果上式把平方改成立方，23-1=7，我们就能得到另一个更大的素数7。也许我们能够一直这样操作下去。那么，是不是所有素数之间都有这么简洁的关系呢？梅森素数以17世纪法国修士马林·梅森的名字命名。素数通用公式？上段提到的公式：2的p次方-1=另一个素数，是否适用于所有的素数呢？上面已经验证公式对素数2和3是成立的。那么下一个素数5呢？2的5次方-1=31。哇！31可真是素数呢！然后，2的7次方-1=127。127也是一个素数！所以，上述公式对5和7也是成立的。

5. 梅森素数还有遗漏的吗?

梅森素数；维基百科，自由的百科全书；跳转到：导航,搜索；梅森数是指形如2n?1的数，记为Mn；如果一个梅；梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命；M67和M257，而遗漏了M61、M89和M10；梅森数不一定皆为质数，以下即是梅森质数及非质数梅；??；M2=22?1=3、M3=23?1=7是素数；目录；[隐藏]；1相关命题和定理；o1.1梅森数和梅
梅森素数
维基百科，自由的百科全书
跳转到： 导航, 搜索
梅森数是指形如2n ? 1的数，记为Mn；如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数。
?
梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名的，他列出了n ≤ 257的梅森素数，不过他错误地包括了不是素数的
M67 和M257，而遗漏了M61、M89 和M107。
梅森数不一定皆为质数，以下即是梅森质数及非质数梅森数的例子：
? ?
M2 = 22 ? 1 = 3、M3 = 23 ? 1 = 7 是素数。 M4 = 24 ? 1 = 15 不是素数。
目录
[隐藏]
1 相关命题和定理
o 1.1 梅森数和梅森素数的性质 o 1.2 梅森数和梅森素数的关系 o 1.3 梅森数的素性检验 o 1.4 与完全数的关系
? 2 相关问题和猜想 ? 3 寻找梅森素数
o 3.1 梅森素数列表
? 4 外部链接

6. 梅森素数的由来

早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2p－1的先河。他在名著《几何原本》第九章中论述完全数时指出：如果2p－1是素数，则 2p－1（2p－1）是完全数。1640年6月，费马在给马林·梅森（Marin Mersenne）的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质，我相信它们将成为今后解决素数问题的基础。” 这封信讨论了形如2p－1的数。马林·梅森是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，他与包括费马在内的很多科学家经常保持通信联系，讨论数学、物理等问题。17世纪时，学术刊物和科研机构还没有创立，交往广泛、热情诚挚的梅森就成了欧洲科学家之间联系的桥梁，许多科学家都乐于将成果告诉他，然后再由他转告给更多的人。梅森还是法兰西学院的奠基人，为科学事业做了很多有益的工作，被选为 “100位在世界科学史上有重要地位的科学家” 之一。 梅森在欧几里得、费马等人有关研究的基础上对2p－1作了大量的计算、验证，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：在不大于257的素数中，当p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 时，2p－1是素数，其它都是合数。前面的7个数（即2、3、5、7、13、17、19）已被前人所证实，而后面的4个数（即31、67、127、257）则是梅森自己的推断。由于梅森在科学界有着崇高的学术地位，人们对其断言都深信不疑。后来人们才知道梅森的断言其实包含着若干错漏。不过他的工作却极大地激发了人们研究2p－1型素数的热情，使其摆脱作为 “完全数” 的附庸地位，可以说梅森的工作是2p－1型素数研究的一个转折点和里程碑。由于梅森学识渊博、才华横溢、为人热情以及最早系统而深入地研究2p－1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为 “梅森数”，并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp=2p－1。如果梅森数为素数，则称之为 “梅森素数”（即2p－1型素数）。

7. 梅森素数是什么

8. 梅森素数的概述

素数是指在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数（如2、3、5、7等等）。素数有无穷多个，但目前却只发现有极少量的素数能表示成 2p－1（p为素数）的形式，这就是梅森素数。它是以17世纪法国数学家马林·梅森的名字命名。梅森素数是数论研究中的一项重要内容，自古希腊时代起人们就开始了对梅森素数的探索。由于这种素数具有着独特的性质（比方说和完全数密切相关）和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多数学家（包括欧几里得、费马、欧拉等）和无数的数学爱好者对它进行探究。在现代，梅森素数不但在计算机科学、密码学等领域有重要的应用价值，它还是人类好奇心、求知欲和荣誉感的最好见证。